Mαθηματικά μοντέλα: ένα σημαντικό όπλο στη μάχη κατά του COVID-19


ΤΗΣ ΔΡΟΣ ΚΑΤΕΡΙΝΑΣ ΚΑΟΥΡΗ* 

Πολλές μεταδοτικές ασθένειες έχουν βασανίσει την ανθρωπότητα μέχρι τώρα. Η μαλάρια και η φυματίωση είχαν σκότωσαν μεγάλο μέρος του πληθυσμού στην Αρχαία Αίγυπτο. Στον Θουκυδίδη περιγράφεται η επιδημία πανούκλας στην αρχαία Αθήνα με 1050 από 4000 στρατιώτες να πεθαίνουν.  Η πανούκλα επανήλθε πολλές φορές μέχρι τώρα σκοτώνοντας εκατομμύρια κόσμο και η φυματίωση (για την οποία υπάρχει εμβόλιο από το 1921) σκοτώνει ακόμα κάθε χρόνο 1.5 εκατομμύρια ανθρώπους. Πιο πρόσφατα αρκετοί από εμάς ακόμα θυμόμαστε τις επιδημίες του SARS (8437 λοιμώξεις, 813 θάνατοι)  και της γρίπης των χοίρων H1N1  (60.8 εκατομμύρια λοιμώξεις, 274 χιλιάδες νοσηλείες, 12.5 χιλιάδες θάνατοι). Ο ιός Η1Ν1 είχε προκαλέσει και την πανδημία της  Ισπανικής Γρίπης μεταξύ 1918-20 (500 εκατομμύρια λοιμώξεις, 17-50εκατομμύρια θανάτοι). Έχει γίνει ξεκάθαρο ότι η πανδημία του κορονωϊού είναι ιδιαίτερα επικίνδυνη καθώς  έχουμε ήδη πάνω από 2 εκατομμύρια επιβεβαιωμένα κρούσματα και περισσότερους από 120 χιλιάδες νεκρούς (15 Απριλίου).

Για να εξαπλωθεί μια μολυσματική ασθένεια ένα μολυσμένο άτομο πρέπει να μολύνει περισσότερα από ένα άτομα. Έτσι, στην αρχή μιας επιδημίας, όλο και περισσότεροι μολύνονται, με την διάσημη πλέον εκθετική αύξηση. Προσοχή όμως γιατί οι εκθετικές αυξήσεις δεν είναι όλες οι ίδιες - για την κάθε επιδημία ο ρυθμός εξάπλωσης αλλάζει ανάλογα με το τόσο μεταδοτικός είναι η ασθένεια. Η παράμετρος R0 (διάσημη για όσους έχουν δει την ταινία Contagion) είναι εξαιρετικά σημαντική στην αντιμετώπιση της πανδημίας καθώς δίνει τον αριθμό ατόμων που κολλά ένα άτομο κατά μέσο όρο.  Το ΓΡΑΦΗΜΑ 1 δείχνει ότι αν ένα άτομο κολλήσει 2 άτομα και αυτά κολλούν άλλα 2 κ.ο.κ. σύντομα 64 άτομα θα έχουν κολλήσει. Αν ένα άτομο που προσβλήθηκε από τον ιό μείνει όμως σπίτι τα κρούσματα θα είναι πολύ λιγότερα.

 

ΓΡΑΦΗΜΑ 1. Η αλυσίδα μετάδοσης όταν κάθε άτομο μολύνει δύο άτομα.

Επειδή η περίοδος επώασης του COVID-19 στο σώμα είναι μεγάλη (υπολογίζεται στις 1-14 μέρες με πιο συχνό τις 5 μέρες, σύμφωνα με τον Παγκόσμιο Οργανισμό Υγείας) πολλά άτομα χωρίς να το ξέρουν κολλούν πολλούς πριν ή χωρίς να παρουσιάσουν συμπτώματα - αυτό καθιστά τον COVID-19 πολύ μολυσματικό και προκαλεί μεγάλη αβεβαιότητα στις εκτιμήσεις για την εξέλιξη της πανδημίας. Η επιδημία τελειώνει όταν ένα άτομο μολύνει λιγότερα από ένα άτομα κατά μέσο όρο, δηλαδή όταν το R0γίνει μικρότερο από 1. ‘Ενας άλλος τρόπος να μειωθεί το R0 είναι να κολλήσουν αρκετοί έτσι ώστε να μειωθεί ο αριθμός των ατόμων που μπορούν να μεταφέρουν τον ιό, με την υπόθεση ότι δημιουργείται ανοσία αν κάποιος κολλήσει και θεραπευθεί («ανοσία της αγέλης»). Με τα μέτρα που λαμβάνουν οι κυβερνήσεις επιδιώκουν λοιπόν την μείωση του R0κάτω από την μονάδα. Tο μεγάλο στοίχημα είναι ποια μέτρα  πρέπει να πάρουν και πότε.

Στην περίπτωση του COVID-19 το R0 υπολογίζεται από 1.4-5.8 στην αρχή της πανδημίας. Παραδείγματος χάριν, σύμφωνα με μελέτη του Imperial College  το R0 στην Ελλάδα αρχικά ήταν λίγο μεγαλύτερο από 2 αλλά με την εφαρμογή των μέτρων φαίνεται να έχει πέσει κάτω από 0.5. ). (Δεν έχει δημοσιευτεί ακόμα αντίστοιχη ανάλυση για την Κύπρο.) Στο Η.Β. το αρχικό R0 υπολογίζεται πάνω από 4 αλλά έχει πέσει επίσης κάτω από 1 όπως διαφαίνεται και από την σταδιακή μείωση κρουσμάτων και θανάτων ανά μέρα.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ

Τα μαθηματικά μοντέλα που αναφέρονται συνεχώς αυτή την περίοδο από επιστήμονες και πολιτικούς σε πολλές χώρες και από τα μίντια είναι ένα ισχυρό όπλο στην σκληρή μάχη ενάντια στον COVID-19 καθώς περιγράφουν  με μαθηματικές εξισώσεις τον μηχανισμό εξάπλωσης της ασθένειας. Μπορούν έτσι, με κάποιες παραδοχές, να προβλέψουν τον αριθμό κρουσμάτων, θανάτων κτλ για τις επόμενες εβδομάδες ή και μήνες. Μπορούν επίσης να μελετήσουν στον υπολογιστή τα μέτρα που λαμβάνει μια κυβέρνηση καθώς και τις κοινωνικοοικονομικές συνέπειες τους.

Flatten the curve! (Επιπεδώστε την καμπύλη)

Όπως είδαμε ο αριθμός των ασθενών στην αρχή της επιδημίας αυξάνεται εκθετικά αλλά καθώς περνά ο χρόνος θα κορυφωθεί και μετά, καθώς λιγοστεύουν αυτοί που μπορούν να κολλήσουν, ο αριθμός θα μειώνεται (υποθέτωντας ανοσία, ότι δηλαδή δεν μπορείς να ξανακολλήσεις COVID-19).  Έχουμε δει πολλές φορές αυτές τις μέρες το σλόγκαν «Flatten the curve!» (ΓΡΑΦΗΜΑ 2).  Η καμπύλη του γραφήματος είναι η καμπύλη των ασθενών. Ο στόχος όλων των χωρών είναι να «εξομαλυνθεί» αυτή η επιδημική καμπύλη, δηλαδή να καθυστερήσουμε την κορύφωση της και να μειώσουμε τον μέγιστο αριθμό ασθενών έτσι ώστε να «αντέξει» το σύστημα υγείας.

 

ΓΡΑΦΗΜΑ 2. Flatten the curve!

Η καμπύλη στο Γράφημα 2 προκύπτει από διάφορα επιδημιολογικά μοντέλα. Ένα από τα πιο απλά επιδημιολογικά μοντέλα είναι το μοντέλο  SIRΤο γράμμα Sείναι για τους «Susceptible» (αυτοί που δεν έχουν κολλήσει ακόμα-ΕΥΠΑΘΕΙΣ), το Ι ειναι για τους «Infectious» (Ασθενείς) και το Rείναι για τους «Removed»  (αυτοί που έχουν αναρρώσει ή έχουν πεθάνει). Έχουμε έτσι ένα μοντέλο με 3 διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν πως μεταβάλλονται αυτές οι κατηγορίες του πληθυσμού με το χρόνο. Το ΓΡΑΦΗΜΑ 3 παρουσιάζει μια τυπική προσομοίωση από αυτό το μοντέλο. Στην αρχή της επιδημίας έχουμε πολλούς ΕΥΠΑΘΕΙΣ οι οποίοι μειώνονται σταδιακά, οι ασθενείς αυξάνονται και μετά μειώνονται όπως είπαμε και αυτοί που θεραπεύτηκαν ή πέθαναν αυξάνονται.

 

ΓΡΑΦΗΜΑ 3: Oι 3 κατηγορίες του πληθυσμού (Ευπαθείς, Ασθενείς, Θεραπεύτηκαν ή Πέθαναν) με βάση το μοντέλο SIR

Στο ΓΡΑΦΗΜΑ 4 συγκρίνουμε τα συνολικά επιβεβαιωμένα κρούσματα ανά εκατομμύριο πληθυσμού στην Κύπρο, Ελλάδα, Βέλγιο, Η.Β. και ΗΠΑ μέχρι 28 Απριλίου μεσημέρι. Παρατηρείται μια εξομάλυνση της καμπύλης σε όλες τις χώρες με πιο έντονη την εξομάλυνση στην Ελλάδα και μετά Κύπρο αλλά είναι νωρίς για συμπεράσματα.  Το Βέλγιο έχει το πιο ψηλό αριθμό κρουσμάτων ανά εκατομμύριο στην ΕΕ για πολλές μέρες τώρα αλλά - το αποδίδουν στο ότι κάνουν καλύτερη καταμέτρηση από άλλες χώρες της ΕΕ. Θα ξέρουμε ότι έχουμε πλέον εξομαλύνει την καμπύλη αν ο αριθμός νέων κρουσμάτων μειώνεται σταθερά από τη μια μέρα στην άλλη.

 

ΓΡΑΦΗΜΑ 4. Συνολικά επιβεβαιωμένα κρούσματα ανά εκατομμύριο πληθυσμού στην Κύπρο, Ελλάδα, Βέλγιο, Η.Β. και Η.Π.Α.

Στην ιστοσελίδα του πανεπιστημίου Johns Hopkins στις ΗΠΑ https://coronavirus.jhu.edu/ μπορείτε να δείτε τα δεδομένα για την πανδημία από όλες σχεδόν τις χώρες.

Τι γίνεται με τους...ασυμπτωματικούς;

Στην περίπτωση του COVID-19 πιστεύεται ότι πολλοί έχουν κολλήσει τον ιό αλλά δεν παρουσιάζουν συμπτώματα και αυτό δημιουργεί μεγάλη αβεβαιότητα στην ερμηνεία των δεδομένων που συλλέγονται καθώς και στις προβλέψεις των μοντέλων. Για να μελετηθεί και αυτή η κατηγορία ατόμων (ασυμπτωματικοί) χρειαζόμαστε ένα πιο περίπλοκο μοντέλο όπου στις  3 κατηγορίες «Susceptible», «Infectious», «Removed» προσθέτουμε και τους «Exposed – Εκτεθειμένους» οι οποίοι έχουν κολλήσει τον ιό αλλά δεν εκδηλώνουν συμπτώματα. Άλλα μοντέλα προσθέτουν και άλλες κατηγορίες ατόμων πχ αυτούς που δεν αρρωστούν σοβαρά και μένουν σπίτι τους και αυτούς που πάνε στο νοσοκομείο. Μια τέτοια προσέγγιση έχουν ακολουθήσει στο πανεπιστήμιο του Harvard στο άρθρο «Social distancing strategies for curbing the COVID-19 epidemic». Αυτή η μελέτη προβλέπει αυξομείωση των κρουσμάτων μέχρι το 2022 με εναλλακτική άρση και επιβολή καραντίνας η οποία σιγά σιγά θα μειώνεται σε διάρκεια μέχρι να εξαλειφθεί η πανδημία. Υπέθεσαν το χείριστο σενάριο, ότι δηλαδή δεν θα ανακαλυφθεί ούτε εμβόλιο ούτε θεραπεία για τον ιό. μπορείτε να «παίξετε» με την καμπύλη των Ασθενών αλλάζοντας τον πληθυσμό, το χρόνο επώασης, το μέρες μέχρι να πάει κάποιος νοσοκομείο κτλ σε αυτό τον σύνδεσμο όπου έχει ενσωματωθεί ένα μοντέλο SEIR.

Το μοντέλο του Imperial Colllegeπου ανέτρεψε την πολιτική του Ηνωμένου Βασιλείου τον Μάρτιο

Με ακόμα πιο περίπλοκα μοντέλα, τα οποία χρησιμοποιούν πιθανότητες που ποσοτικοποιήσουν κάπως την αβεβαιότητα των δεδομένων, όπως αυτό που έχει αναπτύξει η ομάδα του Imperial College στο Λονδίνο, γίνονται καθημερινά προβλέψεις για 12 χώρες (η Κύπρος δεν συμπεριλαμβάνεται). Το μοντέλο λαμβάνει υπόψη τις διάφορες ηλικιακές ομάδες, την πυκνότητα του πληθυσμού κ.α. και μελετά τις επιπτώσεις διαφόρων μέτρων όπως κλείσιμο σχολείων και πανεπιστημίων, απαγόρευση εκδηλώσεων, εθελοντικός αυτοπεριορισμός, υποχρεωτική καραντίνα κτλ. Το μοντέλο πρόεβλεψε ότι θα έρχονταν χιλιάδες θάνατοι στη χώρα στους επόμενους μήνες αν δεν λαμβάνονταν μέτρα. Λαμβάνοντας υπόψη αυτές τις προβλέψεις αποφάσισε η κυβέρνηση του Η.Β. να λάβει αυστηρά μέτρα αλλά διαφαίνεται από τις εξελίξεις ότι δυστυχώς αυτό έγινε αργά.

Ένα άλλο μοντέλο από την Οξφόρδη που δίνει ελπίδα;

Σε ένα άλλο μοντέλο η καθηγήτρια Επιδημιολογίας Sunetra Gupta και η ομάδα της στην Οξφόρδη υποθέτουν ότι έχουν μολυνθεί με τον ιό πολύ περισσότεροι άνθρωποι από όσους νομίζουμε χωρίς να παρουσιάζουν συμπτώματα και έτσι τα πράγματα έτσι δεν είναι τόσο σοβαρά αφού αυτό σημαίνει ότι η πιθανότητα να πεθάνουμε από τον ιό είναι πολύ μικρότερη απ’ ότι νομίζουμε. Κάποια άλλα μοντέλα στην βιβλιογραφία μελετούν ξεκάθαρα αυτό τον πληθυσμό των ασυμπτωματικών που θεωρούνται μια πολύ σημαντική επικίνδυνη παράμετρος σε αυτή την πανδημία. Με αυτά φαίνεται να συμφωνεί και ο κ. Ιωαννίδης, καθηγητής επιδημιολογίας στο Stanford ο οποίος συστήνει συγχρόνως αυστηρή προφύλαξη των ηλικιωμένων μας και των ευπαθών ομάδων και πολλά τεστ.

Μοντέλα για την πανδημία έχουν δημοσιευτεί δεκάδες στην βιβλιογραφία τους τελευταίους 3 μήνες- αρκετά από αυτά δεν έχουν αξιολογηθεί από την επιστημονική κοινότητα με την διαδικασία peer review. Είναι εξαιρετικά σημαντικό να κατανοήσουμε ότι κάθε μαθηματικό μοντέλο στηρίζεται σε μια σειρά από παραδοχές τις οποίες πρέπει να εξετάζονται προσεκτικά όταν προσπαθούμε να εξάγουμε συμπεράσματα και προβλέψεις.

Mαθηματικά μοντέλα ειδικά για την Κύπρο με το οποία θα μπορέσουμε να μελετήσουμε τα διάφορα πιθανά μέτρα καθώς τις κοινωνικo-οικονομικές επιπτώσεις τους θα ήταν πολύ χρήσιμα.Τα συμπεράσματα αυτών των μοντέλων πρέπει φυσικά να συνδυαστούν με μια διεπιστημονική προσέγγιση για να αποφασιστεί ο καλύτερος τρόπος για την χαλάρωση των μέτρων έτσι ώστε οι οικονομικές, κοινωνικές και ψυχολογικές συνέπειες να είναι όσο το δυνατό πιο λίγες. Για την ώρα ο τρόπος για τους πιο πολλούς να βοηθήσουμε είναι να μείνουμε σπίτι μας  και να εμπιστευτούμε τους επιστήμονες μας στην πρώτη γραμμή (τους γιατρούς και νοσηλευτές) καθώς τους άλλους επιστήμονες που ανά το παγκόσμιο κάνουν κούρσα με το χρόνο για να βρουν εμβόλιο ή θεραπεία για τον ιό, με την ελπίδα ότι θα μπορέσουμε να αγκαλιάσουμε σύντομα τους δικούς μας ανθρώπους.

*Η Δρ Κατερίνα Καουρή είναι ειδικός στην Μαθηματική Μοντελοποίηση. Έχει διδακτορικό στα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά από το Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης και επιβλέπει ερευνητική ομάδα στην Μαθηματική Βιολογία στο Πανεπιστήμιο του Cardiff.  Είναι επίσης συντονίστρια των CY Study Groups with Industry, εργαστήριαόπου διεθνείς ομάδες ερευνητών λύνουν πραγματικά προβλήματα με μοντελοποίηση και ανάλυση δεδομένων και συν-Διευθύντρια του ΜΚΟ SciCo (Science Communication) Cyprus

Στοιχεία επικοινωνίας: kaourik@cardiff.ac.uk, τηλ. 99947843

 




Comments (1)

  1. Μιχάλης Α. Πόλης:
    May 03, 2020 at 06:47 PM

    Αν δεν γινόταν ο περιορισμός τι θα γινόταν; Σε σύντομο χρονικό διάστημα λόγω της εκθετικής αύξησης, όσοι ήταν να κολλήσουν θα κολλούσαν. Η διάδοση νομοτελειακά θα σταματούσε, με τον ίδιο τρόπο που μια πυρκαγιά σταματά όταν δεν βρίσκει καύσιμη ύλη. Είναι γεγονός ότι περισσότερα άτομα θα πέθαιναν, λόγω του ότι το σύστημα υγείας θα κατέρρεε. Όμως ο αριθμός των θυμάτων δεν θα ΄ηταν τόσο μεγάλος που θα έθετε σε κίνδυνο την παρουσία του ανθρώπου στην γη.
    Οι πιθανές απώλειες σε μια τέτοια περίπτωση θα έφταναν το 2% - 3% του πληθυσμού, κυρίως άτομα που δεν βρίσκονται πλέον σε αναπαραγωγική ηλικία και άτομα με βεβαρυμένο ιατρικό ιστορικό. Οι υπόλοιποι θα ανέρρωναν και πιθανόν να αποκτούσαν ανοσία. Σίγουρα η οικονομία θα επανεκινούσε ενωρίτερα.
    Με το παρόν μοντέλο αντιμετώπισης, η μετάδοση είναι πιο αργή λόγω των περιορισμών στην διακίνηση. Δεν είναι εκθετική αλλά ας πούμε γραμμική. Ο αριθμός των θυμάτων είναι μικρότερος και διασπείρεται σε μεγαλύτερο χρονικό διάστημα και το σύστημα υγείας αντεπεξέρχεται. Στο παρόν μοντέλο ο κορωνοιος μοιάζει με μια πυρκαγιά που βρίσκεται υπό έλεγχο, όμως συνεχώς υπάρχει ο κίνδυνος μιας αναζωπύρωσης. Επιπλέον η επίπτωση στην οικονομία είναι χειρότερη λόγω της επιμήκυνσης της χρονικής περιόδου επιμόλυνσης και των περιορισμών.
    Το ουσιώδες ερώτημα είναι: Ποιες θα είναι οι απώλειες σε ανθρώπινες ζωές λόγω της μεγαλύτερης οικονομικής κρίσης. ( που θα είναι βαθύτερη με το ισχύον χρονοβόρο μοντέλο αντιμετώπισης του κορωνοιου ). Μήπως οι ανθρώπινες ζωές που σώθηκαν λόγω των περιορισμών στη διακίνηση μακροπρόθεσμα θα χαθούν λόγω της βαθύτερης οικονομικής κρίσης; [ Ένα παράδειγμα: Οικονομική κρίση = μικρότερη χρηματοδότηση ΓεΣΥ = πτώση προσδόκιμου ζωής ]


This thread has been closed from taking new comments.



Newsletter















1172