ΤΟΥ ΜΙΧΑΛΗ Α. ΠΟΛH
Ένα από τα πιο ενδιαφέροντα κεφάλαια της διδακτικής των Μαθηματικών στο δημοτικό είναι η διαιρετότητα των ακεραίων. Το να μπορεί ένας μαθητής να αποφασίσει, χωρίς να εκτελέσει την πράξη της διαίρεσης, αν ένας πολυψήφιος αριθμός είναι πολλαπλάσιος ενός μονοψήφιου είναι μια σημαντική δεξιότητα που πρέπει να αποκτηθεί με συστηματική προσπάθεια και καλλιέργεια της μαθηματικής σκέψης. Μετά από κάθε διερεύνηση, ο μαθητής πρέπει να καταλήξει σε γενικεύσεις που καλύπτουν ομοειδείς περιπτώσεις. Ακολούθως θα εφαρμόσει τους κανόνες που ανακάλυψε για να λύσει και διερευνήσει ασκήσεις και προβλήματα που του δίνονται.
Υπάρχουν εύκολοι μνημονικοί τρόποι για να αποφασίσει ο μαθητής αν ένας πολυψήφιος αριθμός διαιρείται με ένα μονοψήφιο χωρίς υπόλοιπο. Τα παιδιά εύκολα μαθαίνουν ότι κάθε αριθμός που τελειώνει σε 0,2,4,6,8 διαιρείται με το 2 αφού οι αριθμοί με ζυγό ψηφίο στις μονάδες είναι άρτιοι. Αριθμοί των οποίων το άθροισμα των ψηφίων είναι πολλαπλάσιο του 3 ή του 9 είναι, αντίστοιχα, πολλαπλάσια του 3 ή του 9. Εύκολο να το απομνημονεύσει ένας μαθητής, δυσκολότερο όμως να φτάσει σε μια στοιχειώδη απόδειξη. Εύκολο επίσης είναι να διδάξεις σε ένα μαθητή ότι αριθμοί που τελειώνουν σε 0 και 5 είναι πολλαπλάσια του 5, ή πως οι αριθμοί που τελειώνουν σε μηδέν εκτός από πολλαπλάσια του 5 είναι και πολλαπλάσια του 10. Συνδυάζοντας τα κριτήρια διαιρετότητας του 2 και του 3 είναι ευλόγως κατανοητό ότι ένας ζυγός αριθμός που το άθροισμα των ψηφίων του είναι πολλαπλάσιο του 3, είναι πολλαπλάσιο του 6. Εφόσον το 100 και τα πολλαπλάσια του διαιρούνται με το 4 χωρίς υπόλοιπο, είναι φανερό ότι αν ο διψήφιος αριθμός που σχηματίζεται από τα δύο τελευταία ψηφία ενός πολυψήφιου είναι πολλαπλάσιο του 4 τότε και ο πολυψήφιος είναι πολλαπλάσιο του 4. Με παρόμοιο τρόπο προκύπτει ότι αν ο τριψήφιος αριθμός που σχηματίζεται από τα τρία τελευταία ψηφία ενός πολυψήφιου είναι πολλαπλάσιο του 8, τότε ο πολυψήφιος διαιρείται με το 8 χωρίς υπόλοιπο.
Ο «ιδιότροπος» αριθμός 7
Από μικρός μου είχε κάνει εντύπωση ότι ουδέποτε διδαχθήκαμε κανόνες διαιρετότητας για τον αριθμό 7. Πότε αλήθεια ένας πολυψήφιος αριθμός διαιρείται με το 7 χωρίς υπόλοιπο; Ποια πρέπει να είναι η σχέση των ψηφίων ενός αριθμού για να είναι πολλαπλάσιο του 7; Υπάρχει κάποιος εύκολος μνημονοτεχνικός κανόνας; Το θέμα θα μπορούσε ίσως να αποτελέσει μια πρόκληση για διερεύνηση για δυνατούς μαθητές της έκτης τάξης με αυξημένο ενδιαφέρον στα μαθηματικά. Οι πιο κάτω κανόνες διαιρετότητας του αριθμού 7 θα μπορούσαν να προκύψουν με συστηματική διερεύνηση και με τη βοήθεια μιας μικρής υπολογιστικής μηχανής:
Κανόνες διαιρετότητας του 7
Τριψήφιοι αριθμοί
Γράψε ένα τυχαίο τριψήφιο αριθμό. Στο ψηφίο των μονάδων πρόσθεσε το τριπλάσιο του ψηφίου των δεκάδων και το διπλάσιο του ψηφίου των εκατοντάδων. Αν το άθροισμα είναι πολλαπλάσιο του 7 τότε ο αριθμός μας είναι πολλαπλάσιο του 7.
Παράδειγμα: 623 [ 3 + (3.2 ) + ( 2.6) = 21 = 3.7 άρα 623 πολλαπλάσιο του 7]
Διερεύνηση: Δημιουργείστε δικά σας παραδείγματα για επαλήθευση του πιο πάνω κανόνα ή αντιπαραδείγματα για να τον καταρρίψετε.
Τετραψήφιοι αριθμοί
Γράψε ένα τυχαίο τετραψήφιο αριθμό. Βρέστε τη διαφορά του ψηφίου των μονάδων από το ψηφίο των χιλιάδων. Ακολούθως πρόσθεσε το τριπλάσιο του ψηφίου των δεκάδων και το διπλάσιο του ψηφίου των εκατοντάδων. Αν το άθροισμα είναι πολλαπλάσιο του 7 τότε ο τετραψήφιος είναι πολλαπλάσιο του 7.
Παράδειγμα: 8 491 [ (1 - 8 ) + (3.9 ) + ( 2.4) = 28 = 4.7 άρα 8491 πολλαπλάσιο του 7]
Διερεύνηση: Δημιουργείστε δικά σας παραδείγματα για επαλήθευση του πιο πάνω κανόνα ή αντιπαραδείγματα για να τον καταρρίψετε.
Πενταψήφιοι αριθμοί
Γράψε ένα τυχαίο αριθμό με πέντε ψηφία. Διερευνήστε την διαιρετότητα του αριθμού σας με το εφτά ακολουθώντας τα πιο κάτω βήματα:
Α. Βρέστε τη διαφορά του ψηφίου των μονάδων από το ψηφίο των χιλιάδων.
Β. Ακολούθως πρόσθεσε στον αριθμό που βρήκατε το τριπλάσιο της διαφοράς του ψηφίου των δεκάδων από το ψηφίο των δεκάδων χιλιάδων
Γ. Προσθέστε στον αριθμό που βρήκατε το διπλάσιο του ψηφίου των εκατοντάδων. Αν το άθροισμα είναι πολλαπλάσιο του 7 τότε ο αριθμός μας είναι πολλαπλάσιο του 7.
Παράδειγμα: 15 281 Έχουμε: [ (1 - 5 ) + 3. (8 - 1 ) + ( 2.2) = 21 = 3.7 άρα 8491 πολλαπλάσιο του 7]
Διερεύνηση: Γράψετε δικά σας παραδείγματα για επαλήθευση του κανόνα ή αντιπαραδείγματα για να τον καταρρίψετε.
εξαψήφιοι αριθμοί
Γράψε ένα τυχαίο αριθμό με έξι ψηφία. Διερευνήστε την διαιρετότητα του αριθμού σας με το εφτά ακολουθώντας τα πιο κάτω βήματα:
Α. Βρέστε τη διαφορά του ψηφίου των μονάδων από το ψηφίο των χιλιάδων.
Β. Πρόσθεσε στον αριθμό που βρήκατε το τριπλάσιο της διαφοράς του ψηφίου των δεκάδων από το ψηφίο των δεκάδων χιλιάδων.
Γ. Προσθέστε στον αριθμό που βρήκατε το διπλάσιο της διαφοράς του ψηφίου των εκατοντάδων από το ψηφίο των εκατοντάδων χιλιάδων . Αν το άθροισμα είναι πολλαπλάσιο του 7 τότε ο αριθμός μας είναι πολλαπλάσιο του 7.
Παράδειγμα: 399 945 Έχουμε: [ (5 – 9 ) + 3. (4 - 9 ) + 2 ( 9 - 3) = - 7 άρα 399 945 πολλαπλάσιο του 7]
Διερεύνηση: Δημιουργείστε δικά σας παραδείγματα για επαλήθευση του κανόνα ή αντιπαραδείγματα για να αποδείξετε ότι είναι λανθασμένος.
Γενίκευση
Η διαφοροποίηση της διδασκαλίας και η εξατομίκευση της είναι ουσιαστικό μέρος της διδακτικής προσπάθειας. Η πιο κάτω εργασία προσφέρεται μόνο για μαθητές που έχουν το πάθος των μαθηματικών και θέλουν και μπορούν να φτάσουν από τους εμπειρικούς σε ένα γενικό κανόνα, μέσα από τη διαδικασία της απόδειξης:
Α. Αλγεβρική αναπαράσταση τυχαίου ακεραίου αριθμού με γράμματα:
Αναπαριστούμε ένα τυχαίο θετικό ακέραιο αριθμό με μικρά γράμματα του ελληνικού αλφαβήτου ως εξής:
….νμλ κθη ζεδ γβα
όπου α το ψηφίο των μονάδων, β το ψηφίο των δεκάδων, γ το ψηφίο των εκατοντάδων και ούτω καθεξής. Οι τρεις τελείες στην αρχή δείχνουν ότι μπορούμε να προσθέσουμε και όσα άλλα ψηφία θέλουμε.
Β. Γράφουμε την αξία του αριθμού μας σε συνάρτηση με την αξία θέσης κάθε ψηφίου του.
….νμλ κθη ζεδ γβα = α + 10β + 100γ + 1000δ + 10000ε + 100 000ζ + 1 000 000 η + 10 000 000 θ + 100 000 000 κ + 1 000 000 000λ + 10 000 000 000μ + 100 000 000 000ν + …..
Γ. Προσπαθούμε να γράψουμε τον αριθμό μας ως πολλαπλάσιο του 7
….νμλ κθη ζεδ γβα = α + (7β + 3β) + (98γ + 2γ) +( 1001δ – δ )+ (10003 ε – 3ε) + (100 002ζ – 2ζ ) + (999 999η +η ) + ( 9 999 997 θ + 3θ ) + (99 999 998 κ + 2κ ) + (1 000 000 001λ – λ ) + (10 000 000 003μ -3μ )+ (100 000 000 002ν – 2ν ) +….
→….νμλ κθη ζεδ γβα = α + (7β + 3β) + (7.14γ + 2γ) +( 7.143δ – δ )+ (7. 1429 ε – 3ε) + (7.14286ζ – 2ζ ) + (7. 142857η +η ) + ( 7. 1428571 θ + 3θ ) + (7. 14285714 κ + 2κ ) + (7. 142857143λ – λ ) + (7.1428571429μ -3μ )+ (7.14285714286ν – 2ν ) +….
→….νμλ κθη ζεδ γβα =( α + 3β + 2γ – δ – 3ε – 2ζ +η + 3θ + 2κ – λ -3μ – 2ν.. ) + 7 ( β +14γ + 143δ + 1429 ε + 14286 ζ + 142857η + 1428571 θ + 14285714 κ + 142857143λ +1428571429μ +14285714286ν +….)
Αν θέσουμε την παρένθεση μετά το 7 ίση με Α τότε έχουμε:
→….νμλ κθη ζεδ γβα =( α + 3β + 2γ – δ – 3ε – 2ζ +η + 3θ + 2κ – λ -3μ – 2ν.. ) + 7 Α
Και άρα για να είναι ο αριθμός μας πολλαπλάσιο του 7 αρκεί να είναι η πρώτη παρένθεση πολλαπλάσιο του 7 δηλαδή:
Αν →…νμλ κθη ζεδ γβα = 7 Β, τότε πρέπει να ισχύει ότι:
( α + 3β + 2γ – δ – 3ε – 2ζ +η + 3θ + 2κ – λ -3μ – 2ν.. ) = 7 Γ [ Β, Γ ακέραιοι αριθμοί ]
Δηλαδή η αναγκαία συνθήκη για να είναι ο αριθμός μας πολλαπλάσιο του 7 είναι:
( α – δ + η – λ +..) + 3 ( β – ε + θ – μ + ..) + 2 ( γ – ζ + κ – ν +..) = 7 Γ
Αν καταφέρουμε να φτάσουν οι μαθητές μας στη διαδικασία της μαθηματικής απόδειξης, τότε θα έχουμε καταφέρει να τους μυήσουμε στην ομορφιά και την μαγεία των Μαθηματικών.
Εκπαιδευτικός
