ΤΟΥ ΜΙΧΑΛΗ Α. ΠΟΛΗ*
Οι μαθηματικοί έχουν αναπτύξει διάφορες μεθόδους απόδειξης. Μια τέτοια μέθοδος για απόδειξη προτάσεων που αφορούν τους φυσικούς αριθμούς είναι η Τελεία Επαγωγή. Μια διαισθητική κατανόηση της μεθόδου είναι αυτή της αντιστοίχησης της με το φαινόμενο ντόμινο. Για να αισθητοποιήσουμε το φαινόμενο αρκεί να βάλουμε αρκετά κοντά το ένα στο άλλο μια σειρά από σπιρτόκουτα. Η πτώση του πρώτου κουτιού παρασύρει στη σειρά το δεύτερο, αυτό το τρίτο κουτί κοκ μέχρι να πέσουν όλα. Θα περιγράψουμε μέσω ενός παραδείγματος τη μέθοδο για να εννοήσουμε τη σύνδεση της με το ντόμινο.
Γράφουμε την ακολουθία των αριθμών 1, 8, 27, 64, 125……..
Ποιοι είναι άραγε οι επόμενοι αριθμοί της ακολουθίας; Για να τους βρούμε πρέπει να ψάξουμε αν υπάρχει κάποιο μοτίβο. Αρκεί να παρατηρήσουμε ότι οι 5 αριθμοί που έχουμε γράψει είναι οι κύβοι των διαδοχικών φυσικών αριθμών 1,2,3,4,5. Προφανώς λοιπόν ο 6ος αριθμός της ακολουθίας είναι ο 216 = 6³, ο 7ος είναι ο 343 =7³ κοκ. Διατυπώνουμε την ακολουθία γράφοντας εκτός από τους αρχικούς όρους το γενικό όρο της και τον όρο τάξεως ν+1 που τον ακολουθεί. Οι τελείες που έπονται του όρου τάξεως ν+1 δείχνουν ότι έχουμε μια ακολουθία με μη πεπερασμένο πλήθος όρων.
1³ , 2³, 3³, 4³, 5³…..ν³ , (ν +1 )³, …..
Ας υποθέσουμε ότι κάποιος θέλει να υπολογίσει το άθροισμα των ν πρώτων όρων της ακολουθίας των κύβων των φυσικών αριθμών σε συνάρτηση του φυσικού αριθμού ν όποιος και να είναι αυτός. Ας προσπαθήσουμε να διατυπώσουμε κάποιο κανόνα για το άθροισμα μας.
Αν το ν ισούται με 1 το άθροισμα ισούται με 1 δηλαδή: ( 1 . 2 ) ² / 4
Αν το ν ισούται με 2 το άθροισμα των δύο πρώτων όρων ισούται με 1+8= 9 = (2 . 3 ) ² / 4
Αν το ν ισούται με 3 το άθροισμα των τριών πρώτων όρων ισούται με 1 + 8 + 27 = 36 = (3 . 4 ) ² / 4
Αν το ν ισούται με 4 το άθροισμα των τεσσάρων πρώτων όρων ισούται με 1 + 8 + 27 + 64 =100 = (4 . 5 ) ² / 4
Η παρατήρηση οδηγεί στον εξής εμπειρικό κανόνα: Το άθροισμα των πρώτων ν κύβων ισούται με
1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ +….. + ν³ =[ ν . ( ν + 1 ) ]² /4
Αν θέλουμε, για παράδειγμα, να βρούμε το άθροισμα των 100 πρώτων κύβων δεν είναι ανάγκη να προσθέσουμε 100 αριθμούς. Αρκεί μόνο να κάνουμε τις ακόλουθες τρεις πράξεις:
Να υπολογίσουμε το γινόμενο 100.101,
Να υπολογίσουμε το τετράγωνο του γινομένου που βρήκαμε πολλαπλασιάζοντας το με τον εαυτό του.
Να διαιρέσουμε το τετράγωνο που βρήκαμε δια 4.
Αν και η εμπειρική μας παρατήρηση φαίνεται εύλογη, εντούτοις δεν αποτελεί αδιάσειστη απόδειξη ότι ο κανόνας που διατυπώσαμε ισχύει για κάθε φυσικό αριθμό. Ακόμα και αν συνεχίσουμε να επαληθεύουμε τον κανόνα μας για μεγαλύτερα ν, υπάρχουν άπειροι φυσικοί αριθμοί και όσες επαληθεύσεις και να κάνουμε πάντα υπάρχει η πιθανότητα ενός αντιπαραδείγματος. Για να ξεπεράσουμε αυτή τη φαινομενικά ανυπέρβλητη δυσκολία εισάγουμε την λεγόμενη επαγωγική υπόθεση. Στην περίπτωση μας υποθέτουμε ότι για κάποιο τυχαίο φυσικό αριθμό κ ισχύει η πρόταση μας δηλαδή ότι το άθροισμα των κ πρώτων κύβων ισούται με [κ (κ + 1)]²/4.
Ακολούθως προσπαθούμε να αποδείξουμε ότι η πρόταση μας ισχύει για ν=κ+1. Η κίνηση αυτή δεν είναι τυχαία. Αποτελεί την αναγκαία και ικανή συνθήκη για πυροδότηση του domino effect. Αν η πρόταση μας αποδειχθεί ότι ισχύει για δύο τυχαίες διαδοχικές τιμές και δεδομένου ότι υπάρχει η αρχική τιμή που επαληθεύει το συμπέρασμα, οδηγούμαστε στην αλυσιδωτή επαλήθευση του συμπεράσματος για όλα τα επόμενα μερικά αθροίσματα.
Είναι βοηθητικό να σκεφτούμε τη Μαθηματική Επαγωγή σε αναλογία με μια σειρά από ντόμινο τοποθετημένα όρθια το ένα πολύ κοντά στο άλλο. Αν σπρώξουμε το πρώτο στη σειρά ντόμινο, αυτό θα πέσει και θα παρασύρει στην πτώση το δεύτερο ντόμινο και αυτό με τη σειρά του το τρίτο και ούτω καθεξής, μέχρι να πέσουν όλα, όσα πολλά και αν είναι. Στην περίπτωση μας το πρώτο ντόμινο είναι ο έλεγχος της επαγωγικής υπόθεσης για την αρχική τιμή ν=1.
Σε πιο μαθηματική γλώσσα η τελεία επαγωγή αποτελείται από τα παρακάτω τρία βήματα:
1. Απόδειξη ισχύος της προς απόδειξη πρότασης για την αρχική τιμή της: δείχνουμε ότι η πρόταση Ρ (ν) ισχύει για ν = 1,
2. Επαγωγική υπόθεση: υποθέτουμε ότι η πρόταση P(ν) είναι αληθής για κάποιο ν = κ, δηλαδή ότι ισχύει P(κ).
3. Επαγωγικό βήμα: χρησιμοποιώντας ως εφαλτήριο την επαγωγική υπόθεση προσπαθούμε να αποδείξουμε ότι η πρόταση ισχύει για ν = κ + 1 δηλαδή ότι ισχύει P(κ + 1).
Αν αποδείξουμε το επαγωγικό βήμα τότε έχουμε καταφέρει να αποδείξουμε ότι η πρόταση είναι αληθής για κάθε φυσικό αριθμό, υπό την προϋπόθεση της επαλήθευσης της για την αρχική τιμή της ακολουθίας, η οποία θα «πυροδοτήσει την πτώση των διαδοχικών στηλών του ντόμινο». Στην περίπτωση μας όμως το ντόμινο έχει άπειρες στήλες, κάθε μια από τις οποίες παράγεται από τους διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς.
Παράρτημα: Σε ξεχωριστό έγγραφο υπάρχουν τρία παραδείγματα απόδειξης με την τελεία επαγωγή σε μαθηματική γλώσσα για όσους θέλουν να εμβαθύνουν.
*Εκπαιδευτικός
