TOY MIXΑΛΗ Α. ΠΟΛΗ*
Η έκφραση «χρυσή τομή» είναι κοινός τόπος στη γλώσσα της πολιτικής, της δημοσιογραφίας και της διανόησης. Ποια όμως είναι η έννοιας της χρυσής τομής; Οι Πυθαγόρειοι πίστευαν ότι τα πάντα είναι αριθμοί. Στα πλαίσια αυτά το αισθητικά άρτιο, το κάλλος (η ομορφιά) προκύπτει από μια ιδιόρρυθμη μαθηματική αναλογία, η οποία αν εφαρμοστεί στις διαστάσεις των αντικειμένων δίδει το καλύτερο αισθητικό αποτέλεσμα.
Στο 11ο πρόβλημα του δεύτερου βιβλίου των Στοιχείων, ο Ευκλείδης έθεσε το πρόβλημα που σήμερα είναι γνωστό ως «Χρυσή Τομή» ως το πρόβλημα του χωρισμού δοθέντος ευθυγράμμου τμήματος σε μέσο και άκρο λόγο. Η ακριβής διατύπωση του προβλήματος από τον πατέρα της γεωμετρίας σε σύγχρονη απόδοση είναι η ακόλουθη:
« Να τμηθεί δοθέν ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ σε δύο άνισα τμήματα ΑΓ και ΓΒ (ΑΓ>ΓΒ) , ούτως ώστε το ορθογώνιο με πλευρές ίσες με ΑΒ και ΓΒ να έχει ίσο εμβαδόν με τετράγωνο πλευράς ίσης με ΑΓ »
Με άλλα λόγια το τμήμα ΑΒ έπρεπε να χωριστεί, μόνο με χάρακα και διαβήτη, με τέτοιο τρόπο ώστε ο λόγος του μεγαλύτερου τμήματος προς το μικρότερο τμήμα να είναι ίσο με το λόγο του όλου ευθύγραμμου τμήματος προς το μεγαλύτερο μέρος του. Έπρεπε δηλαδή να ορισθεί επί του ΑΒ σημείο Γ τέτοιο ώστε ΑΓ/ΓΒ = ΑΒ/ΑΓ. Ο Ευκλείδης λύει γεωμετρικά το πρόβλημα ως εξής: Έστω ότι ΑΒ = α. Φέρομε την κάθετο επί της Β και ορίζουμε σημείο Κ επί της καθέτου τέτοιο ώστε ΚΒ = ½ ΑΒ = ½ α. Με κέντρο Κ και ακτίνα ΚΒ = ½ α γράφουμε κύκλο. Ενώνουμε το Α με το Κ και έστω Δ το σημείο τομής της ΑΚ με την περιφέρεια του κύκλου. Προεκτείνουμε το ΑΚ ούτως ώστε να τέμνει τον κύκλο σε σημείο Ε. (ΔΕ = Διάμετρος = α ). Με ακτίνα ΑΔ γράφουμε τόξο κύκλου που τέμνει το ΑΒ στο Γ. Το σημείο Γ είναι το ζητούμενο σημείο για το οποίο αποδεικνύεται ότι ΑΓ/ΓΒ = ΑΒ/ΑΓ. ( Βλέπε και επισυναπτόμενο σχέδιο )
Απόδειξη: Το τρίγωνο ΑΒΕ είναι όμοιο με το τρίγωνο ΑΔΒ αφού έχουν κοινή γωνιά την Α και η γωνιά ΑΔΒ ισούται με τη γωνία ΑΒΕ. [Έστω η γωνία ΚΕΒ =ψ, τότε ΔΚΒ=2ψ , ΑΒΕ=90+ψ, , ΚΔΒ = 90 – ψ και άρα ΑΔΒ=90+ψ = ΑΒΕ]
Εκ της ομοιότητας έχουμε ότι ΑΒ/ΑΔ = ΑΕ/ΑΒ και το Δ χωρίζει το ΑΕ κατά μέσο και άκρο λόγο. (χρυσή τομή)
Έστω ΑΔ = ΑΓ = χ. Εκ της αναλογίας ΑΒ/ΑΔ = ΑΕ/ΑΒ έχουμε:
α/χ = (α+ χ)/α
→ χ² + αχ - α² = 0 και χ = ½ α [ √5 – 1]
Αν θέσουμε α = 1 τότε χ = ½ [ √5 – 1] ≈0,618
Αφού ΑΔ = ΑΓ = ½ ( √5 – 1) τότε ΓΒ = ½ (3 - √5 )
και ΑΓ/ΓΒ = ( √5 – 1) / (3 - √5 ) και ΑΒ/ΑΓ = 2/( √5 – 1 )
→ ΑΓ/ΓΒ = ΑΒ/ΑΓ = ( √5 + 1 )/2≈1,618
Ο αριθμός ( √5 + 1 )/2της χρυσής τομής ονομάζεται και Φ προς τιμή του γλύπτη Φειδία του οποίου τα αγάλματα αισθητικά ήταν αξεπέραστα. Ο Φ = ½ ( 1+√5) ≈ 1,618 .
Ο αριθμός Φ ≈ 1,618 προκύπτει και από τα διαδοχικά πηλίκα της ακολουθίας Fibonacci που έχει τους ακόλουθους όρους 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 …..[ Κάθε επόμενος όρος της ακολουθίας είναι το άθροισμα των δύο προηγούμενων.]
Εφαρμογές της χρυσής τομής
Πιο κάτω θα αναφέρουμε κάποιες εφαρμογές της χρυσής τομής τόσο στη φύση, όσο και στον ανθρώπινο πολιτισμό. Ο κατάλογος δεν είναι εξαντλητικός και η περιγραφή είναι άκρως περιληπτική, καθώς στα πλαίσια ενός άρθρου δεν μπορούμε να επεκταθούμε σε περισσότερες λεπτομέρειες.
Α. Χρυσή τομή και φύση
Αναλογίες του ιδανικού ανθρώπινου σώματος
Ο ομφαλός χωρίζει ένα αρμονικό ανθρώπινο σώμα κατά χρυσή τομή αφού Ο λόγος του συνολικού ύψους ενός κανονικού ανθρώπου προς το διάστημα από τον ομφαλό στο έδαφος ισούται με το λόγο του διαστήματος ομφαλός – έδαφος προς το διάστημα κορυφή κεφαλής – ομφαλός.
Ο λόγος της Απόστασης (ώμος – άκρα δακτύλων) προς την απόσταση (αγκώνας – άκρα δακτύλων) ισούται με τη χρυσή τομή.
Ο λόγος της απόστασης (κορυφή κεφαλής – νοητή γραμμή που ενώνει τα φρύδια) προς το λόγο (γραμμή φρυδιών πηγούνι) πάλι ορίζει τη χρυσή αναλογία.
Το ιδανικό ανθρώπινο σώμα ενσωματώνει πολλές τέτοιες χρυσές αναλογίες.
Η φυλλοταξία
Διαδοχικά φύλλα πάνω σε βλαστό σχηματίζουν γωνία 222,5 μοιρών που είναι το πηλίκο της πλήρους γωνίας των 360 μοιρών δια τον αριθμό Φ.
Άνθη και πέταλα
Τα λιοστρόφια (ηλίανθοι) σχηματίζουν συνήθως 55 δεξιόστροφες και 34 αριστερόστροφες σπείρες κόμβων που είναι διαδοχικοί αριθμοί της ακολουθίας Fibonacci. Προφανώς το πηλίκο δεξιόστροφων / αριστερόστροφων κόμβων τείνει στον αριθμό της χρυσής τομής.
Εργάτριες και κηφήνες
Ο λόγος των εργατριών προς τους κηφήνες ισούται με τον αριθμό της χρυσής τομής.
Εχινόδερμα
Το γνωστό εχινόδερμο αστερίας φέρει στις αναλογίες των πλοκαμιών του τη χρυσή τομή. Από το ασπόνδυλο αυτό ίσως προέρχεται ο αστέρας των πυθαγορείων, το σχήμα που προκύπτει από τις διαγώνιους του κανονικού πενταγώνου.
Β. Χρυσή τομή και ανθρώπινος πολιτισμός
1. Αρχιτεκτονική
Ο Παρθενώνας, η Πυραμίδα του Χέοπα, το θέατρο της Επιδαύρου και άλλα αρχαία και σύγχρονα κτίρια ενσωματώνουν στις αναλογίες τους το χρυσό αριθμό Φ.
2. Γλυπτική
Ο Φειδίας και ο Πραξιτέλης πάντοτε έφτιαχναν τα αγάλματα τους με βάση τη «Θεία αναλογία» της χρυσής τομής.
3. Ζωγραφική
Πολλοί ζωγράφοι της αναγέννησης όπως ο Λούκα Πατσιόλι και ο Λεονάρντο Νταβίντσι (Μυστικός Δείπνος, Τζοκόντα )χρησιμοποίησαν τη χρυσή τομή στις προσωπογραφίες που έφτιαξαν.
4.Χρυσή τομή και ..τραπεζίτες
Πάρτε για παράδειγμα μια πιστωτική κάρτα. Το σχήμα της είναι ένα χρυσό ορθογώνιο αφού αν διαιρέσετε τη μεγάλη πλευρά της προς τη μικρή βρίσκετε το χρυσό αριθμό Φ. Έτσι για να σας αρέσει και να κάνετε κέφι να ξοδεύετε..
Επίλογος
Αν όλοι αυτοί που στη ρύμη του λόγου τους χρησιμοποιούν την έκφραση «χρυσή τομή» ήξεραν την έννοια και την εφάρμοζαν κατά το δυνατόν, η ζωή μας θα ήταν σίγουρα καλύτερη και αισθητικά αρτιότερη.
Βιβλιογραφία
*Εκπαιδευτικός
